补码与计算机的数值表示

1. 真值与机器数

真值是原来的数，机器数为相应存储在电脑内的二进制数。

2. 模的概念

一个计量系统的计数范围。

生活实例：时钟的模为 12，计量范围是 0~11，11 过后又回到 0。 n 位计算机数的模为 2^(n)，计量范围是 0~(2^(n)-1)。

运用：n=4，模为 2^(4)=16，计量范围是 0~15（二进制表示 0000~1111）。如当前数 15 的二进制值为 1111，则再加 1，计数值就变为了 0000，真值就变成了 0，而在最高位上溢出了一个 1。

3. 补码（以 8 位二进制为例）

本质：用大的正数来表示小的负数，化减为加。

生活实例：在时钟内：从 8 点调到 5 点，有 8-3=8+9，则-3=9（绝对值相加等于模）

(1) 原理

8 位二进制数原本计数的范围是 0~255，因需要表示负数使用补码，将 128~255 用来表示负数（-1~-128）其二进制首位为 1，0~127 不变仍表示正数（0~127）其二进制首位为 0。

若最终结果超出范围，可增加位数避免溢出。

例：若想记录数 128，则需要将 8 位二进制数提升至 16 位，扩大计数范围避免溢出。

(2) 补码的二进制表示

如果 n 是正数，补码就是其二进制，如果 n 是负数，补码则是 n+256 的二进制。

「+73」补码 = 01001001 「-73」补码 = 10000000 - 01001001=10110111（183 的二进制）

(3) 补码的运算

① 真值到补码：

• 当 n 是负数，可以通过其相反数各位 取反加1 来快速求出补码。

例：设 n=8，求-36 补码。 36 的二进制=00100100 各位取反得 11011011 末位加 1 结果为 11011100 即为补码

② 补码到真值：

• 如果补码最高位是 1（即真值 128 以上，代表负数），将各位取反加一，转换为十进制再加负号。
• 如果补码最高位是 0（即真值 127 以下，代表正数），直接转换为十进制即可。

例：假设 n 的八位补码是 10101010，求 n 真值。 10101010 取反加一=01010110 01010110 的十进制=86 添加负号 n=-86